2011-02-05 10:54:52

"Оссерваторе Романо": чудо фракталов Мандельброта


Ватиканская газета «Оссерваторе Романо» посвятила статью научной рубрики недавно скончавшемуся матемитику Бенуа Мандельброту.
"Множество Мандельброта": это удивительное изображение известно многим. Однако мало кто знает о том, как оно родилось и что оно собой представляет. Создавший его гениальный математик Бенуа Мандельброт умер в прошлом году (14 октября в Кембридже, штат Массачусетс) на 86-м году жизни.
Мандельброт, родившийся в Варшаве 20 ноября 1924 года, и будучи литовцем по происхождению, большую часть своей жизни прожил во Франции. У него был экстравагантный, абсолютно оригинальный подход к геометрии. Используя компьютер, он создал "фрактальную геометрию", которая по сравнению с традиционной геометрией точнее выражала сложность естественного мира.
Его подход прекрасно выражен во введении к фундаментальному труду The Fractal Geometry of Nature (Фрактальная геометрия природы), где он писал: "Почему геометрию так часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака не являются сферами, горы – конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей. Природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности. Количество различных масштабов длины в естественных формах можно считать бесконечным для каких угодно практических задач. Существование таких феноменов бросает нам вызов и побуждает заняться подробным изучением тех из форм, которые Евклид отложил в сторону из-за их "бесформенности", – исследовать, так сказать, морфологию аморфного. Математики же пренебрегли этим вызовом и предпочли бежать от природы путем изобретения различных теорий, которые никак не объясняют того, что мы видим или ощущаем".
Мандельброт решил посвятить себя этой области, где не было ничего систематизированного, и ему удалось объединить некоторые далекие друг от друга, узкие области математики в единую действующую дисциплину, вдохнув новую жизнь в ветви, которые казались давно засохшими.
"Фракталами" (от латинского fractus, дробленый или нерегулярный) Мандельброт назвал математические формы, которые в своих различных масштабах, как больших, так и маленьких, проявляют свойства "нерегулярности и самоподобия". Для примера можно привести дерево, которое разветвляется на две или три главные ветки, которые в свой черед разделяются на две-три ветви поменьше и продолжают разделяться на веточки и так далее. Каждая веточка повторяет структуру дерева, к которому она принадлежит: она подобна ему, но не полностью. Также можно вспомнить о нашей кровеносной системе артерий, которая разветвляется на более мелкие артерии, или о структуре наших бронхов. Другим примером из природы является кочан цветной капусты, который можно разделить на соцветия, каждое из которых будет представлять собой такой же кочан в миниатюре, и на еще более мелкие подэлементы; либо, это солнечная система, которая является частью галактики, относящейся к скоплению галактик, которая в свою очередь является членом сверхскопления.
Следовательно, определение фрактала содержит важную идеализацию: в каком бы масштабе мы его ни рассматривали, фрактал проявляет одни и те же общие черты. С помощью все более мощного микроскопа (или, наоборот, телескопа) можно продолжать рассматривать фрактал и видеть одну и ту же структуру. Как всякая математическая модель, это также может показаться упрощением, но она позволяет реально углубить наше представление о природе.
В 1980 году, – когда он был научным сотрудником в Исследовательском центре им. Томаса Уотсона при IBM, – исследования Мандельбротом фракталов были увенчаны открытием множества, которое носит его имя, чем он очень гордился.
Это множество можно описать просто: оно располагается в центре обширного двухмерного пространства чисел, называемого "комплексной плоскостью". Когда к точкам многократно применяется определенная операция, те, что снаружи, устремляются к бесконечности, в то время как те, что внутри, смещаются, но остаются всегда внутри границы множества. Ближе к границе тонкое кружево отклонений отмечает начало нестабильности. Это бесконечная регрессия деталей, которая поражает своим разнообразием, сложностью и странной красотой.
С помощью относительно простой программы компьютер может быть преобразован в своего рода микроскоп для наблюдения за границами множества Мандельброта, увеличивая их до желаемого масштаба. С определенного расстояния множество похоже на сплющенную восьмерку, окаймленную «протуберанцами». Внутри множество черное, снаружи окружено красочным ореолом. При приближении оказывается, что каждый «протуберанец» имеет форму, схожую с формой исходной фигуры. Однако, увеличивая масштаб еще больше, обнаруживаем, что он распадается на мириады переплетающихся между собой нитей. Увеличив один из завитков, обнаруживаем, что он состоит из пары спиралей, соединенных ажурными мостиками. Увеличив их в свой черед, видим наличие двух завитков, исходящих из центра мостика. Продолжая далее, в различных зонах обнаруживаются множества Мандельброта в миниатюре, и кажется, что вновь появляются те же самые объекты, но с некоторыми различиями. Эта процедура может продолжаться до бесконечности, поражая разнообразием и красотой.
Сам Мандельброт сказал: "Евклид созерцал чистую красоту. Но для того, чтобы в полной мере оценить эту красоту, необходима долгая и сложная подготовка, а может, и естественная склонность. И напротив, перед очарованием фракталов, кажется, никто не остается равнодушным, и многие говорят о своей первой встрече с фрактальной геометрией как об эстетическом опыте, а не только научном. В этом смысле фракталы не могли быть более инновационными".








All the contents on this site are copyrighted ©.